Дискриминант квадратного уравнения — формула и применение

Когда ребёнок сталкивается с квадратными уравнениями, один из первых «страшных» терминов, с которым он знакомится — это дискриминант. Часто он звучит как что-то абстрактное и сложное. Но если объяснить его доступно, можно не только снять страх перед математикой, но и помочь школьнику почувствовать уверенность.

Хватит заставлять ребенка учиться!

Освойте методику повышения успеваемости, интереса к учебе и самостоятельности за 15 минут в день

Подробнее

В этой статье разберём, что такое дискриминант, как он помогает решать уравнения, и почему это не так сложно, как может показаться.

Что такое дискриминант?

Прежде всего, давайте вспомним, что такое квадратное уравнение. Оно выглядит так:

ax² + bx + c = 0,
где a, b, c — любые числа, а x — переменная, которую нужно найти.

Чтобы узнать, есть ли у этого уравнения решения (корни) и сколько их, используется дискриминант. Это такая «подсказка» — число, по которому можно сразу понять, сколько будет ответов и какие они будут.

Формула дискриминанта

Дискриминант обозначается буквой D и вычисляется по формуле:

D = b² − 4ac

• b — коэффициент при x
• a — коэффициент при x²
• c — свободный член (число без переменной)

Это простая формула, которую легко запомнить: квадрат второго коэффициента минус 4, умноженное на первый и третий коэффициенты.

💡 Запомнить проще через аналогию
«Берём квадрат числа b, потом отнимаем 4 раза произведение a и c»

Разбор частных случаев дискриминанта

Когда мы вычислили D, самое интересное — проанализировать результат. Дальше действуем по правилу трёх вариантов:

1. D > 0 — два корня

Если дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два разных корня. Это значит: у задачи два разных ответа.

Пример:

x² − 3x + 2 = 0

Здесь:

• a = 1, b = −3, c = 2
• D = (−3)² − 4×1×2 = 9 − 8 = 1 (больше нуля)

Теперь находим корни:

x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a
x₁ = (3 + √1)/2 = 4/2 = 2
x₂ = (3 − √1)/2 = 2/2 = 1

Ответ: x = 2 и x = 1

2. D = 0 — один корень

Если дискриминант равен нулю, у уравнения только один корень. Математики говорят, что он «двукратный», но для ребёнка проще сказать: один единственный ответ.

Пример:

x² − 4x + 4 = 0
a = 1, b = −4, c = 4
D = (−4)² − 4×1×4 = 16 − 16 = 0

x = −b / 2a = 4 / 2 = 2

Ответ: x = 2

3. D < 0 — нет корней

Если дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел. Это значит, что корней нет.

Пример:

x² + x + 1 = 0
a = 1, b = 1, c = 1
D = 1² − 4×1×1 = 1 − 4 = −3

Так как корень из отрицательного числа найти нельзя (в рамках школьной программы), решений нет.

Ответ: корней нет

Примеры решения задач

Чтобы понятнее стало, как применять дискриминант, разберём несколько задач.

✅ Пример 1. Уравнение с двумя корнями

Условие: Решите уравнение 2x² − 5x + 2 = 0

Решение:

• a = 2, b = −5, c = 2
• D = (−5)² − 4×2×2 = 25 − 16 = 9
• √D = 3

x₁ = (5 + 3) / (2×2) = 8/4 = 2
x₂ = (5 − 3) / (2×2) = 2/4 = 0.5

Ответ: x = 2 и x = 0.5

✅ Пример 2. Один корень

Условие: Решите уравнение x² − 6x + 9 = 0

• a = 1, b = −6, c = 9
• D = (−6)² − 4×1×9 = 36 − 36 = 0
• x = −(−6)/2 = 6/2 = 3

Ответ: x = 3

✅ Пример 3. Нет корней

Условие: Найдите корни уравнения x² + 2x + 5 = 0

• a = 1, b = 2, c = 5
• D = 2² − 4×1×5 = 4 − 20 = −16

Так как D < 0 → корней нет

Практический кейс: как мама помогла сыну понять дискриминант

Ольга, мама шестиклассника Ильи, заметила, что сын боится темы квадратных уравнений. Он заучил формулы, но не понимал, что они означают.

Ольга взяла бумагу и маркеры и предложила:

1. Нарисовать уравнение как путь героя — сначала путешествие (a), потом препятствие (b), и, наконец, награда или провал (c).
2. Показать дискриминант как магический кристалл, который открывает три портала:
   • если он светится — есть два пути (D > 0),
   • если просто пульсирует — один путь (D = 0),
   • если темный — дороги нет (D < 0).

Через игру и ассоциации Илья не только понял тему, но и начал сам решать уравнения.

Если вы каждый вечер испытываете стресс из-за домашних заданий ребенка — вы не одиноки.
Тысячи родителей ежедневно сталкиваются с этим: уговоры, крики, слёзы, усталость и чувство вины.
Но что, если решение существует — и оно уже помогло более 200 000 детей и родителей?

👨‍🏫 Шамиль Ахмадуллин, педагог и автор более 110 развивающих пособий, приглашает вас на бесплатный 5-дневный марафон.

📌 За 5 дней вы узнаете:
✅ Как без давления развить в ребёнке самостоятельность
✅ Как улучшить память и внимание в домашних условиях
✅ Как превратить домашние задания из стресса — в привычку
✅ Как всего за 15 минут в день изменить подход к учебе

✨ Этот марафон — шанс навсегда прекратить «бои за домашку» и обрести спокойствие в семье.

👉

Как объяснить дискриминант ребёнку просто?

• Используйте визуализацию — шкалы, линии, графики.
• Связывайте с жизнью: «Если ты ищешь выход — дискриминант подскажет, один он или несколько».
• Не заучивайте формулу вслепую — разберите каждый элемент.
• Устройте мини-соревнование: кто быстрее определит, сколько корней.

Таблица-шпаргалка по дискриминанту

Заключение

Дискриминант — это не враг, а надёжный помощник. Он показывает, сколько решений есть у квадратного уравнения, и помогает выбрать правильный способ решения.

Когда ребёнок понимает, а не просто заучивает, математика становится не только понятной, но и интересной. А вместе с родителями, которые не боятся сами немного «вспомнить школьное», любое уравнение превращается из проблемы в победу.