Квадратные уравнения — формулы, примеры решений

Квадратные уравнения — это фундаментальный раздел алгебры, с которым сталкивается каждый школьник. Эти уравнения не только являются важной частью школьной программы, но и находят применение в различных областях науки и повседневной жизни. От проектирования зданий до расчета траекторий движения объектов — квадратные уравнения помогают решать разнообразные практические задачи. В этой статье мы подробно разберем все аспекты квадратных уравнений: от их общего вида до решения конкретных примеров и применения в реальных ситуациях.

Хватит заставлять ребенка учиться!

Освойте методику повышения успеваемости, интереса к учебе и самостоятельности за 15 минут в день

Подробнее

Общий вид квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени, которое в общем виде записывается как:

ax² + bx + c = 0

где:

• a, b, c — числа (коэффициенты уравнения)
• a ≠ 0 (если a = 0, то уравнение становится линейным)
• x — неизвестная величина

Коэффициенты a, b и c играют ключевую роль в определении свойств квадратного уравнения. Их значения влияют на количество корней и способы решения уравнения.

Типы квадратных уравнений

В зависимости от значений коэффициентов различают несколько типов квадратных уравнений:

1. Полное квадратное уравнение — когда все коэффициенты отличны от нуля (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0). Пример: 2x² + 5x + 3 = 0
2. Неполное квадратное уравнение — когда один или несколько коэффициентов равны нулю:
   • Если b = 0: ax² + c = 0 (биквадратное уравнение) Пример: 3x² + 7 = 0
   • Если c = 0: ax² + bx = 0 (приведенное квадратное уравнение) Пример: 4x² + 8x = 0
   • Если b = 0 и c = 0: ax² = 0 (простейшее квадратное уравнение) Пример: 5x² = 0

Историческая справка

Квадратные уравнения известны человечеству уже более 4000 лет. Древние вавилоняне и египтяне использовали геометрические методы для их решения. В России метод решения квадратных уравнений стал широко преподаваться с XVIII века, когда Леонард Эйлер, работавший в Петербургской академии наук, систематизировал алгебраические знания.

Формула корней квадратного уравнения x = (-b ± √D)/(2a)

Для решения любого квадратного уравнения используется универсальная формула:

x = (-b ± √D)/(2a)

где D — дискриминант квадратного уравнения.

Определение дискриминанта

Дискриминант обозначается буквой D и вычисляется по формуле:

D = b² – 4ac

Значение дискриминанта позволяет определить количество корней квадратного уравнения и их характер:

• Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня: x₁ = (-b + √D)/(2a) и x₂ = (-b – √D)/(2a)
• Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень (два совпадающих корня): x = -b/(2a)
• Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Понимание того, как выводится формула корней, помогает лучше усвоить материал. Рассмотрим процесс вывода:

1. Начинаем с уравнения: ax² + bx + c = 0
2. Делим все члены на a: x² + (b/a)x + (c/a) = 0
3. Применяем метод выделения полного квадрата:
   • Переносим свободный член: x² + (b/a)x = -(c/a)
   • Добавляем и вычитаем (b/2a)²: x² + (b/a)x + (b/2a)² – (b/2a)² = -(c/a)
   • Группируем: (x + b/2a)² = (b/2a)² – (c/a) = (b²/4a² – c/a) = (b² – 4ac)/4a²
   • Извлекаем корень: x + b/2a = ±√((b² – 4ac)/4a²) = ±√(b² – 4ac)/2a
   • Выражаем x: x = -b/2a ± √(b² – 4ac)/2a = (-b ± √D)/2a

Оценки ребенка стремительно падают? Вы снова в панике из-за «2» и «3» в дневнике?

Начало учебного года — это всегда стресс как для детей, так и для родителей. Но что делать, если ребенок явно способен на большее, а оценки говорят об обратном?

Шамиль Ахмадуллин, создатель более 110 развивающих пособий, обладатель премии за лучшее пособие дополнительного образования в России, разработал эффективную систему повышения успеваемости.

🔑 Присоединяйтесь к бесплатному марафону и узнайте:

• Как повысить успеваемость по любому предмету минимум на 1 балл
• Какие навыки необходимо развивать для успешной учебы
• Почему школа часто заставляет родителей учиться вместо детей

Хватит паниковать из-за оценок! Научитесь помогать ребенку правильно.

Зарегистрироваться на марафон

Разбор частных случаев

D > 0 — два корня

Когда дискриминант положителен, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это наиболее частый случай в практических задачах.

Пример: Решить уравнение 2x² – 7x + 3 = 0

1. Определяем коэффициенты: a = 2, b = -7, c = 3
2. Вычисляем дискриминант: D = b² – 4ac = (-7)² – 4 · 2 · 3 = 49 – 24 = 25
3. Поскольку D > 0, уравнение имеет два различных корня:
   • x₁ = (-b + √D)/(2a) = (7 + 5)/(2 · 2) = 12/4 = 3
   • x₂ = (-b – √D)/(2a) = (7 – 5)/(2 · 2) = 2/4 = 0,5

Проверка: Подставим полученные значения в исходное уравнение:

• Для x = 3: 2 · 3² – 7 · 3 + 3 = 2 · 9 – 21 + 3 = 18 – 21 + 3 = 0 ✓
• Для x = 0,5: 2 · 0,5² – 7 · 0,5 + 3 = 2 · 0,25 – 3,5 + 3 = 0,5 – 3,5 + 3 = 0 ✓

D = 0 — один корень

Если дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет ровно один корень (или два совпадающих корня). Геометрически это означает, что парабола касается оси x в одной точке.

Пример: Решить уравнение x² – 6x + 9 = 0

1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9
2. Вычисляем дискриминант: D = b² – 4ac = (-6)² – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0
3. Поскольку D = 0, уравнение имеет один корень: x = -b/(2a) = 6/(2 · 1) = 3

Проверка: x² – 6x + 9 = 3² – 6 · 3 + 9 = 9 – 18 + 9 = 0 ✓

Интересно отметить, что данное уравнение можно представить в виде (x – 3)² = 0, что сразу дает нам корень x = 3.

D < 0 — нет корней

Когда дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных корней. В комплексной области уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, но в рамках школьной программы обычно ограничиваются утверждением об отсутствии решений.

Пример: Решить уравнение 3x² + 2x + 5 = 0

1. Определяем коэффициенты: a = 3, b = 2, c = 5
2. Вычисляем дискриминант: D = b² – 4ac = 2² – 4 · 3 · 5 = 4 – 60 = -56
3. Поскольку D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Геометрическая интерпретация: график функции y = 3x² + 2x + 5 представляет собой параболу, которая не пересекает ось x.

Примеры решения уравнений

Пример 1: Решение полного квадратного уравнения

Рассмотрим уравнение 4x² + 12x + 9 = 0.

1. Определяем коэффициенты: a = 4, b = 12, c = 9
2. Вычисляем дискриминант: D = b² – 4ac = 12² – 4 · 4 · 9 = 144 – 144 = 0
3. Поскольку D = 0, уравнение имеет один корень: x = -b/(2a) = -12/(2 · 4) = -12/8 = -3/2

Альтернативный метод решения: Данное уравнение можно решить, разложив на множители: 4x² + 12x + 9 = 0 4(x² + 3x) + 9 = 0 4(x² + 3x + 9/4) = 0 4(x + 3/2)² = 0 Отсюда x = -3/2

Пример 2: Решение неполного квадратного уравнения (c = 0)

Рассмотрим уравнение 5x² – 15x = 0.

1. Вынесем x за скобки: 5x(x – 3) = 0
2. Приравняем каждый множитель к нулю:
   • 5x = 0, откуда x₁ = 0
   • x – 3 = 0, откуда x₂ = 3

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ = 0 и x₂ = 3.

Пример 3: Решение неполного квадратного уравнения (b = 0)

Рассмотрим уравнение 2x² – 8 = 0.

1. Преобразуем уравнение: 2x² = 8
2. Делим обе части на 2: x² = 4
3. Извлекаем квадратный корень: x = ±2

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2

Пример 4: Решение уравнения с дробными коэффициентами

Рассмотрим уравнение (1/2)x² + (3/4)x – (1/3) = 0.

1. Умножим обе части уравнения на 12 (НОК знаменателей 2, 4 и 3): 6x² + 9x – 4 = 0
2. Определяем коэффициенты: a = 6, b = 9, c = -4
3. Вычисляем дискриминант: D = b² – 4ac = 9² – 4 · 6 · (-4) = 81 + 96 = 177
4. Поскольку D > 0, уравнение имеет два корня:
   • x₁ = (-b + √D)/(2a) = (-9 + √177)/(2 · 6) = (-9 + √177)/12
   • x₂ = (-b – √D)/(2a) = (-9 – √177)/(2 · 6) = (-9 – √177)/12

Приблизительные значения: x₁ ≈ 0,36 и x₂ ≈ -1,86

Практические задачи

Квадратные уравнения широко применяются для решения различных практических задач. Рассмотрим несколько примеров:

Задача 1: Задача на движение

Условие: Лодка проплыла 24 км по течению реки и вернулась обратно. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Известно, что на весь путь лодка затратила 6 часов. Найдите собственную скорость лодки.

Решение:

1. Пусть v — собственная скорость лодки (км/ч).
2. Тогда скорость лодки по течению равна v + 2 км/ч, а против течения — v – 2 км/ч.
3. Время движения по течению: t₁ = 24/(v + 2) часов.
4. Время движения против течения: t₂ = 24/(v – 2) часов.
5. По условию, t₁ + t₂ = 6, то есть: 24/(v + 2) + 24/(v – 2) = 6
6. Приведем к общему знаменателю: 24(v – 2) + 24(v + 2) = 6(v + 2)(v – 2) 24v – 48 + 24v + 48 = 6(v² — 4) 48v = 6v² – 24 0 = 6v² – 48v – 24 0 = v² – 8v – 4
7. Решаем полученное квадратное уравнение: a = 1, b = -8, c = -4 D = b² – 4ac = 64 + 16 = 80 v₁ = (8 + √80)/2 = 4 + √20 ≈ 8,47 v₂ = (8 – √80)/2 = 4 – √20 ≈ -0,47
8. Поскольку скорость не может быть отрицательной, ответ: v = 8,47 км/ч ≈ 8,5 км/ч.

Задача 2: Геометрическая задача

Условие: Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь — 36 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

1. Пусть a и b — стороны прямоугольника (см).
2. По условию, периметр: 2(a + b) = 26, откуда a + b = 13.
3. Площадь: ab = 36.
4. Выразим b через a: b = 13 – a.
5. Подставим в уравнение для площади: a(13 – a) = 36.
6. Раскроем скобки: 13a – a² = 36.
7. Получаем квадратное уравнение: a² – 13a + 36 = 0.
8. Решаем его: a = 1, b = -13, c = 36 D = b² – 4ac = 169 – 144 = 25 a₁ = (13 + 5)/2 = 9 a₂ = (13 – 5)/2 = 4
9. Находим соответствующие значения b: b₁ = 13 – 9 = 4 b₂ = 13 – 4 = 9
10. Таким образом, стороны прямоугольника равны 9 см и 4 см.

Задача 3: Физическая задача

Условие: Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Через сколько секунд оно достигнет высоты 15 метров?

Решение:

1. Используем формулу движения тела при равноускоренном движении: h = v₀t – gt²/2, где h — высота, v₀ — начальная скорость, g — ускорение свободного падения (≈ 9,8 м/с²), t — время.
2. Подставляем известные значения: 15 = 20t – 9,8t²/2 15 = 20t – 4,9t² 4,9t² – 20t + 15 = 0
3. Решаем полученное квадратное уравнение: a = 4,9, b = -20, c = 15 D = b² – 4ac = 400 – 4 · 4,9 · 15 = 400 – 294 = 106 t₁ = (20 + √106)/(2 · 4,9) ≈ 3,1 t₂ = (20 – √106)/(2 · 4,9) ≈ 1
4. Оба решения физически допустимы: тело достигнет высоты 15 метров дважды — при подъеме (примерно через 1 секунду) и при падении (примерно через 3,1 секунды).

Заключение

Квадратные уравнения являются важным математическим инструментом, который находит применение во многих областях науки и техники. Умение решать такие уравнения развивает логическое мышление, аналитические способности и математическую интуицию.

Для успешного решения квадратных уравнений необходимо:

1. Привести уравнение к стандартному виду ax² + bx + c = 0
2. Определить коэффициенты a, b и c
3. Вычислить дискриминант D = b² – 4ac
4. В зависимости от значения D найти корни уравнения
5. Проверить полученные результаты подстановкой в исходное уравнение

Владение методами решения квадратных уравнений открывает путь к изучению более сложных математических концепций и успешному решению различных практических задач.