Средняя скорость — формула, примеры, задачи

В жизни мы постоянно сталкиваемся с понятием скорости — когда едем в школу, возвращаемся с работы, планируем поездку. Умение рассчитать среднюю скорость помогает точно планировать время и принимать правильные решения. В этой статье мы разберемся, что такое средняя скорость, как ее вычислить и на примерах рассмотрим типичные задачи.

Хватит заставлять ребенка учиться!

Освойте методику повышения успеваемости, интереса к учебе и самостоятельности за 15 минут в день

Подробнее

Что такое средняя скорость?

Определение средней скорости

Средняя скорость — это физическая величина, которая характеризует движение тела на протяжении определенного промежутка времени или участка пути. По сути, это отношение всего пройденного пути к затраченному на него времени.

Когда мы говорим о средней скорости автомобиля в 60 км/ч, это означает, что в среднем за каждый час машина проезжала 60 километров. При этом в некоторые моменты скорость могла быть выше (например, 80 км/ч на трассе), а в другие — ниже (20 км/ч при проезде через населенный пункт).

Средняя скорость особенно полезна, когда необходимо:

• Рассчитать время в пути
• Спланировать маршрут
• Сравнить эффективность разных способов передвижения
• Проанализировать движение объекта на длительном участке

Представьте, что вы едете из Москвы в Санкт-Петербург. Общее расстояние составляет около 700 км, а в пути вы провели 8 часов с учетом остановок. Ваша средняя скорость будет равна 700 ÷ 8 = 87,5 км/ч, хотя во время движения спидометр мог показывать и 100, и 110 км/ч на хороших участках трассы.

Школьная тревожность, страх ошибки и неудачи могут парализовать способность ребенка учиться. Но корень проблемы часто лежит не в эмоциональной сфере, а в недостатке эффективных учебных навыков. Когда ребенок не знает, КАК учиться — страх неизбежен. На бесплатном 5-дневном марафоне Шамиля Ахмадуллина вы узнаете, как помочь ребенку обрести уверенность через развитие конкретных навыков. Эксперт с многолетним опытом поделится методиками, которые помогли более 200 000 детей преодолеть учебные барьеры и полюбить процесс получения знаний. Инвестируйте всего 15 минут в день, чтобы раскрыть потенциал вашего ребенка и избавить его от страха перед школой. 

Получить доступ

Отличие от мгновенной скорости

Важно понимать разницу между средней и мгновенной скоростью:

Именно поэтому, даже если спидометр вашего автомобиля показывал 90 км/ч бóльшую часть пути, средняя скорость может оказаться значительно ниже из-за остановок, снижения скорости в населенных пунктах или из-за дорожной ситуации.

Формула средней скорости

Основное уравнение

Для вычисления средней скорости используется следующая формула:

𝑣ср = 𝑠общ ÷ 𝑡общ

где:

• 𝑣ср — средняя скорость
• 𝑠общ — общий пройденный путь
• 𝑡общ — общее затраченное время

Эта формула универсальна и подходит для любых задач на определение средней скорости.

Вывод формулы из закона движения

Чтобы лучше понять, откуда берется формула средней скорости, рассмотрим закон равномерного движения:

s = v × t

где s — путь, v — скорость, t — время.

Когда тело движется с постоянной скоростью, то пройденный путь равен произведению скорости на время. Однако в реальной жизни скорость редко остается постоянной на всем пути. Поэтому мы используем понятие средней скорости.

Если переписать формулу, выразив скорость, получим:

v = s ÷ t

Для средней скорости это будет выглядеть так:

𝑣ср = 𝑠общ ÷ 𝑡общ

Важно отметить, что если движение происходит с постоянной скоростью, то средняя скорость будет равна этой постоянной скорости. Но если скорость меняется, то средняя скорость будет отличаться от мгновенных значений.

Средняя скорость при разных скоростях на участках пути

В реальной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда на разных участках пути скорость движения существенно отличается. Например, в городе мы едем медленнее, а на трассе быстрее. Как в таком случае рассчитать среднюю скорость?

Формула для двух участков

Когда речь идет о движении с разными скоростями на двух участках одинаковой длины, средняя скорость вычисляется по формуле:

𝑣ср = 2𝑣₁𝑣₂ ÷ (𝑣₁+𝑣₂)

где:

• 𝑣₁ — скорость на первом участке
• 𝑣₂ — скорость на втором участке

Эта формула часто вызывает удивление, так как многие ошибочно полагают, что средняя скорость на двух участках равна среднему арифметическому двух скоростей: (𝑣₁ + 𝑣₂) ÷ 2. Однако это верно только в случае, если время движения на обоих участках одинаково.

Для лучшего понимания рассмотрим пример:

Автомобиль проехал 60 км со скоростью 60 км/ч, а затем еще 60 км со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость на всем пути?

Первый участок: t₁ = s₁ ÷ v₁ = 60 ÷ 60 = 1 час Второй участок: t₂ = s₂ ÷ v₂ = 60 ÷ 40 = 1,5 часа Общее время: tобщ = 1 + 1,5 = 2,5 часа Общий путь: sобщ = 60 + 60 = 120 км

Средняя скорость: vср = sобщ ÷ tобщ = 120 ÷ 2,5 = 48 км/ч

Проверим по формуле для двух участков: vср = 2 × 60 × 40 ÷ (60 + 40) = 4800 ÷ 100 = 48 км/ч

Как видим, результаты совпадают. Это доказывает справедливость формулы.

Для случая, когда имеется несколько участков с разными скоростями, рекомендуется использовать общую формулу:

𝑣ср = 𝑠общ ÷ 𝑡общ

где общее время находится как сумма времен прохождения каждого участка:

𝑡общ = t₁ + t₂ + … + tₙ

А общий путь является суммой длин всех участков:

𝑠общ = s₁ + s₂ + … + sₙ

Примеры задач на нахождение средней скорости

Задача с равными интервалами времени

Задача 1: Велосипедист двигался 2 часа со скоростью 15 км/ч и еще 2 часа со скоростью 25 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на всем пути.

Решение: Поскольку интервалы времени равны, можно найти общий путь и общее время, а затем вычислить среднюю скорость.

Путь на первом участке: s₁ = v₁ × t₁ = 15 × 2 = 30 км Путь на втором участке: s₂ = v₂ × t₂ = 25 × 2 = 50 км Общий путь: sобщ = 30 + 50 = 80 км Общее время: tобщ = 2 + 2 = 4 часа

Средняя скорость: vср = sобщ ÷ tобщ = 80 ÷ 4 = 20 км/ч

В данном случае средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей на двух участках: (15 + 25) ÷ 2 = 20 км/ч. Это объясняется тем, что время движения на обоих участках одинаково.

Задача с разными скоростями на участках

Задача 2: Турист прошел 10 км по равнине со скоростью 5 км/ч, а затем 5 км в гору со скоростью 2,5 км/ч. Какова его средняя скорость на всем маршруте?

Решение: Найдем время, затраченное на каждый участок:

Время на равнине: t₁ = s₁ ÷ v₁ = 10 ÷ 5 = 2 часа Время в гору: t₂ = s₂ ÷ v₂ = 5 ÷ 2,5 = 2 часа Общее время: tобщ = 2 + 2 = 4 часа Общий путь: sобщ = 10 + 5 = 15 км

Средняя скорость: vср = sобщ ÷ tобщ = 15 ÷ 4 = 3,75 км/ч

Заметим, что в этом случае средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей, которое составило бы (5 + 2,5) ÷ 2 = 3,75 км/ч. Это совпадение связано с тем, что время, проведенное на обоих участках, оказалось одинаковым.

Задача 3: Автомобиль ехал из города А в город Б со скоростью 90 км/ч, а обратно по той же дороге со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля за всю поездку, если расстояние между городами 180 км.

Решение: Время в пути из А в Б: t₁ = s₁ ÷ v₁ = 180 ÷ 90 = 2 часа Время в пути из Б в А: t₂ = s₂ ÷ v₂ = 180 ÷ 60 = 3 часа Общее время: tобщ = 2 + 3 = 5 часов Общий путь: sобщ = 180 + 180 = 360 км

Средняя скорость: vср = sобщ ÷ tобщ = 360 ÷ 5 = 72 км/ч

Также можно использовать формулу для двух участков одинаковой длины: vср = 2 × 90 × 60 ÷ (90 + 60) = 10800 ÷ 150 = 72 км/ч

Ошибки при вычислении средней скорости

Распространённые ошибки в расчётах

1. Ошибка среднего арифметического

Самая распространенная ошибка — представление о том, что средняя скорость всегда равна среднему арифметическому скоростей на отдельных участках. Это верно только в случае, если время движения на всех участках одинаково.

Пример: Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — со скоростью 40 км/ч.

Неверный расчет: vср = (60 + 40) ÷ 2 = 50 км/ч Верный расчет (используя формулу для участков одинаковой длины): vср = 2 × 60 × 40 ÷ (60 + 40) = 48 км/ч

1. Игнорирование времени остановок

При расчете средней скорости необходимо учитывать все время, затраченное на движение, включая остановки.

Пример: Автобус двигался 3 часа со скоростью 50 км/ч с остановками общей продолжительностью 1 час.

Неверный расчет (без учета остановок): vср = 50 км/ч Верный расчет: общий путь = 50 × 3 = 150 км, общее время = 3 + 1 = 4 часа, vср = 150 ÷ 4 = 37,5 км/ч

1. Путаница с единицами измерения

При расчете средней скорости важно использовать согласованные единицы измерения.

Пример: Автомобиль проехал 10 км за 30 минут.

Неверный расчет: vср = 10 ÷ 30 = 0,33 (без указания единиц измерения) Верный расчет: vср = 10 ÷ 0,5 = 20 км/ч (переводим 30 минут в 0,5 часа)

1. Неправильное понимание средней скорости при движении «туда и обратно»

Многие ошибочно полагают, что если объект движется туда и обратно с разными скоростями, то средняя скорость будет равна среднему арифметическому этих скоростей.

Пример: Автомобиль едет из пункта А в пункт Б со скоростью 60 км/ч, а обратно со скоростью 40 км/ч.

Неверный расчет: vср = (60 + 40) ÷ 2 = 50 км/ч Верный расчет (используя формулу для двух участков одинаковой длины): vср = 2 × 60 × 40 ÷ (60 + 40) = 48 км/ч

1. Ошибки при расчете средней скорости на нескольких участках

При наличии более двух участков следует находить общий путь и общее время, а затем вычислять среднюю скорость по общей формуле.

Пример: Автомобиль проехал первые 100 км со скоростью 50 км/ч, следующие 150 км со скоростью 75 км/ч и последние 50 км со скоростью 25 км/ч.

Неверный расчет: vср = (50 + 75 + 25) ÷ 3 = 50 км/ч Верный расчет:

• t₁ = 100 ÷ 50 = 2 часа
• t₂ = 150 ÷ 75 = 2 часа
• t₃ = 50 ÷ 25 = 2 часа
• tобщ = 2 + 2 + 2 = 6 часов
• sобщ = 100 + 150 + 50 = 300 км
• vср = sобщ ÷ tобщ = 300 ÷ 6 = 50 км/ч

В данном случае средняя скорость действительно совпала со средним арифметическим скоростей, но это произошло только потому, что время движения на всех трех участках оказалось одинаковым (по 2 часа).

Понимание принципов расчета средней скорости и умение избегать типичных ошибок поможет вам правильно решать задачи и применять полученные знания на практике.

Используя приведенные в статье формулы и примеры, вы сможете уверенно вычислять среднюю скорость в различных ситуациях. Это умение пригодится не только в учебе, но и в повседневной жизни — при планировании поездок, расчете времени в пути и анализе эффективности различных маршрутов.